OKGENLER

OKGENLER NEDİR?

ÇOKGEN ÇEŞİTLERİ NELERDİR?

1. Çokgen

Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan A₁, A₂, A₃, … gibi n tane (n ³ 3)
noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillereçokgen denir.

a. İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir.

b. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir. Dışbükey çokgen

c. Çokgenlerin elemanları

A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir. Komşu iki köşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğru parçaları çokgenin kenarlarıdır.

• İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir.
• İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir.www.matematikcifatih.tr.gg
• Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir.

2. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

a. İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı

(n - 2) . 180°

b. Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde

Dış açılar toplamı =360°

c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin

n.(n-3) / 2

Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.

n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
(n – 2) adet üçgen elde edilebilir.

3. Düzgün Çokgenler

Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

a. Düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer. Bu çembere çevrel çember denir.

b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir.

c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir.

d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar. Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir

e. n kenarlı düzgün bir çokgende bir iç açının ölçüsü

(n - 2) . 180°/ n

f. Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü

360° / n

4. Düzgün Çokgenin Alanı

a. n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve iç teğet yarıçapı r ise alanı

A= n.a.r / 2

b.n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı

(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) 360 / n ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı

A= n.R.R.sina / 2

ORAN NEDİR?

a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,a/b ye a nın b ye oranı denir.

• Kesrin payı sıfır olabilir fakat paydası sıfır olamaz.
• Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.
• Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür ya da aynı olmalıdır.
• Oranın sonucu birimsizdir.

ORANTI NEDİR?

En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani a/b oranı c/d nin eşitliği olan a/b=c/d ye orantı denir.

ise, a/b=c/d a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir.

ORANTININ ÖZELLİKLERİ NELERDİR?

1) a/b=c/d ise a.d= b.c

2) a : b : c = x : y : z ise,

Burada, a = x . k

            b = y . k

            c = z . k dır.

 ORANTI ÇEŞİTLERİ NELERDİR?

1. Doğru Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.

x ile y doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir. www.matematikcifatih.tr.gg

•  İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır.
•  Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır.

2. Ters Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.
x ile y ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere,y=k/x ifadesine ters orantının denklemi denir.

Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir. 

•  İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır.
•  Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır.

a, b ile doğru c ile ters orantılı ve k pozitif bir orantı sabiti olmak üzere,

a.c/b=k

ARİTMETİK ORTALAMA

n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.

Buna göre, x₁, x₂, x₃, ... , x_n sayılarının aritmetik ortalaması,

X1+x2+x3+…..xn / n dir.

•  a ile b nin aritmetik ortalaması  a+b / 2
•  a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması, a+b+c / 3
•  n tane sayının aritmetik ortalaması x olsun.

Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.

GEOMETRİK ORTALAMA

n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.
Buna göre,

a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise a = b dir.

 DÖRDÜNCÜ ORANTILI

a/b=c/x orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı olan sayıdenir.

ORAN VE ORANTI İLE İLGİLİ ÖRNEK SORULAR

1.  y sayısı x+2 ile doğru, 2x-1 ile ters orantılıdır. x=1 için y=6 olduğuna göre x=3 için y nedir?  A) 2      B) 3      C) 4      D) 5      E) 6

2.  Üç kardeşin 5 yıl önceki yaş ortalaması 8 ise, 5 yıl sonraki yaş ortalaması kaçtır? A) 15      B) 16      C) 17      D) 18      E) 19

3.  a,b,c tamsayılar; a:b:c = 5:7:8 ve 2a+b+c=100 ise, c kaçtır?  A) 32      B) 28      C) 24      D) 20      E) 18

4.  a ve (b+c) sayıları sırasıyla 2 ve 3 ile doğru orantılıdır. 3b=2c ve a+b-c=21 ise a'nın değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 19      B) 24      C) 30      D) 32      E) 35

5.  a,b,c negatif tamsayılar olup;  3.a.b = 4.b.c = 5.a.c ve a2 + b2 + c2 = 200 ise a+b+c nin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) -12     B) -14     C) -18     D) -20     E) -24

6.  (a/b)=(4/7) , c=3d , a.c=4 ise aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?  A) c ile d doğru orantılıdır. B) a ile c ters orantılıdır. C) a ile d ters orantılıdır.D) b ile d doğru orantılıdır. E) b ile c ters orantılıdır.

7.  (1/3a) = (2/2b) = (1/5c) ve a+b+c = 62 ise, b-c hangisidir?   A) 12      B) 15      C) 18      D) 24      E) 30

8.  a.b : a.c : b.c = 3 : 6 : 9 orantısını sağladığına göre a/(b.c)  :  c/(a.b)  oranı nedir?   A) 1/2      B) 3      C) 1/9      D) 1/3      E) 9

9.  a,b,c pozitif tamsayılar ve 2/3a = 3/5b = 1/2c ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?   A) a<b<c      B) a<c<b      C) b<c<a D) c<b<a      E) c<a<b

10.  a,b,c,d tamsayılar ve         (a/b) = (c/d) = (2/3) ise, (2a+3c)/(2b+3d) oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 1/2     B) 1/3     C) 3/4     D) 2/5     E) 2/3